\section{Motivations}\label{sec:motivations}
L'objectif g\'en\'eral des m\'ethodes de d\'ecomposition matricielle est de compresser de grands jeux de donn\'ees. Ces m\'ethodes interviennent naturellement lorsqu'on a une matrice $A$ constitu\'ee de $n$ observations $\mathbf{a}_j\in \mathbb{R}^p$ et qu'on veut trouver $r$ vecteurs $u_1,\cdots,u_r$ et des poids $w_{i,j}$ tels que pour tout $j=1,\cdots,n : $
\[
\mathbf{a}_j\approx\sum_{i=1}^r v_{ij}\mathbf{u}_i
\]
Cela revient \`a approcher $A$ par une matrice de rang faible $r\leq n$, produit d'une matrice $U$ de taille $p\times r$ et d'une matrice de poids $V=(v_{ij})$ de taille $r\times n$. Si $r\ll n$, cela permet de r\'eduire la dimension du probl\`eme puisque, de mani\`ere sous jacente, on suppose qu'elle est beaucoup plus faible que la taille $n$ du jeu de donn\'ees.

Un exemple d'application classique est la conception de syst\`emes de recommandation. Un grand nombre de sites de e-commerce ont pour but de pr\'esenter \`a leurs clients/visiteurs des produits qu'ils sont susceptibles d'acheter; et pour cela, ils essaient d'utiliser les informations qu'ils ont sur la proximit\'e entre utilisateurs et/ou produits pour faire des recommandations pertinentes d'achat. 

Si on choisit de stocker dans une matrice les notes que chaque utilisateur a attribu\'ees \`a chaque produit (par exemple notes de films) ou le nombre d'achats du produit, cette matrice est creuse dans bien des cas, avec un grand nombre de valeurs manquantes que l'on choisit souvent de remplacer par des z\'eros. En effet, les utilisateurs ne notent pas les produits qu'ils n'ont pas achet\'es ou qu'ils ne connaissent pas. 

Afin de pr\'edire ces valeurs manquantes, une strat\'egie possible est de supposer que peu de facteurs d\'eterminent la note ou le fait d'acheter un produit et, donc, que la matrice utilisateur/produit va \ être de faible rang ou proche d'une matrice de faible rang. On approche alors la matrice utilisateurs/produits donn\'ee par une matrice de rang faible, souvent exprim\'ee sous forme d'une d\'ecomposition en produit de matrices rectangulaires. 
  
Nous allons ici nous concentrer sur deux exemples classiques de d\'ecomposition de matrice : la D\'ecomposition en Valeurs Singuli\`eres (SVD en anglais) et la Factorisation en Matrices Non n\'egatives (NMF en anglais). La premi\`ere approche vise \`a trouver la meilleure approximation possible au sens de la norme de Frobenius sans imposer aucune contrainte ni sur $U$ ni sur $V$, la deuxi\`eme \`a traiter le cas particulier tr\`es utile dans la pratique o\`u la matrice que l'on cherche \`a d\'ecomposer a tous ses coefficients positifs ou nuls (non n\'egatifs suivant la terminologie anglo-saxonne). Nous commencons par la SVD qui est la plus simple. Nous pr\'esenterons ensuite l'algorithme originel de la NMF dans une deuxi\`eme partie.  

Nous pr\'esenterons ensuite une extension de toutes ces m\'ethodes aux tableaux multidimensionnels qu'on appele aussi des tenseurs en nous concentrant plus particulièrement sur la d\'ecomposition canonique polyadique.