\section{Exercices}
\label{sec:decomposition-exercices}

\begin{itemize}[itemindent=20mm]

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\Quest{6.1}\textbf{Valeurs propres et vecteurs propres}

Soit $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$
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\begin{enumerate}
\item Montrer que $x_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, $x_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ et 
$x_3=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ sont des vecteurs propres de $A$ associ\'es respectivement aux valeurs propres $4,1,1$. 
\item Montrer que $A$ est diagonalisable.
\item Montrer que la matrice $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&1&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}$ est sym\'etrique positive. En d\'eduire qu'elle est diagonalisable, sans utiliser la premi\`ere question.
\end{enumerate}

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\Quest{6.2}\textbf{Valeurs singuli\`eres et vecteurs singuliers}

Soit $A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&0&1\end{pmatrix}$
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\begin{enumerate}
\item Expliciter ses valeurs singuli\`eres et vecteurs singuliers \`a droite et \`a gauche.
\item En d\'eduire sa d\'ecomposition en valeurs singuli\`eres.
\end{enumerate}

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\Quest{6.3}\textbf{Matrices orthogonales}

\begin{enumerate}
\item Montrer que la matrice $A=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}$ est orthogonale.
\item Soit $\mathbf{a}=\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}$ un vecteur non nul de $\mathbb{R}^n$. Expliciter la matrice $S$ de la sym\'etrie orthogonale par rapport \`a $Vect(\mathbf{a})^{\perp}$. Montrer qu'elle est orthogonale.
\item Soient $\mathbf{a}=\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}$ et $\mathbf{a}'=\begin{pmatrix}a'_1\\\vdots\\a'_n\end{pmatrix}$ deux vecteurs non nuls de $\mathbb{R}^n$ de m\^eme norme. Donner la sym\'etrie orthogonale qui transforme $\mathbf{a}$ en $\mathbf{a}'$.
\end{enumerate}

\end{itemize}

