\chapter*{Notations}

% pour l'instant on a convenu  de mettre les matrices en gras lettres majuscules ex. \mathbf{M}, les vecteurs en gras lettres minuscules, ex. \mathbf{w}, et les variables en lettre minuscules ex. z, et les variables aléatoires en majuscules non-gras, ex. X

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Définitions
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\newcommand{\InpSpc}{\mathcal{X}} 
\newcommand{\va}[1]{\textbf{$#1$}} 

\newcommand{\Loss}{\mathcal{L}}
\newcommand{\LossEmp}{\hat{\mathcal{L}}}

\newcommand{\InstLoss}{\ell}
\newcommand{\LabSpc}{\mathcal{L}}
\newcommand{\AltSet}{\mathcal{A}}
\newcommand{\PrmSet}{\Pi_\mathcal{A}}
\newcommand{\LblSet}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\DistLbl}{\mathcal{D}}
\newcommand{\DistUnlbl}{\mathcal{D}_\mathcal{X}}
\newcommand{\uldak}{X_u^{(k)}}
\newcommand{\ldak}{Z_{\mathcal U \!\!\! \backslash}}
\newcommand{\algR}{\mathcal R}  
\newcommand{\RademCond}{\hat{\mathcal{R}}}
\newcommand{\Radem}{\mathcal{R}}
\newcommand{\FnCls}{\mathcal{G}}
\newcommand{\LossFnCls}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\Classif}{\mathcal{C}_{pap}}
\newcommand{\EM}{\texttt{EM~}}
\newcommand{\CEM}{\texttt{CEM~}}
\newcommand{\CML}{\texttt{CML~}}
\newcommand{\ML}{\texttt{ML~}}
\newcommand{\EStep}{\texttt{\'Etape-E~}}
\newcommand{\CStep}{\texttt{\'Etape-C~}}
\newcommand{\MStep}{\texttt{\'Etape-M~}}
\newcommand{\Email}{\texttt{Email spam} }
\newcommand{\Mushroom}{\texttt{Mushroom} }
\newcommand{\Cmp}{\texttt{Cmp$\_$lg} }
\newcommand{\sectors}{\texttt{7sectors} }
\newcommand{\alg}{\mathcal R}
%\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
%q\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
%\newcommand{\bs}{\!\!}
\newcommand{\RI}{\texttt{RI}}
\newcommand{\InputSpace}{\mathcal{X}}
\newcommand{\OutputSpace}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\obs}{\textbf{x}}
\newcommand{\Predi}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\wgt}{\boldsymbol{\bar{w}}}
\newcommand{\CnxEmpLoss}{\mathcal{L}}
\newcommand{\Hessienne}{\mathbf{H}}
\newcommand{\vor}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\TrnSet}{\mathcal S}
\newcommand{\tf}{\mbox{tf}}
\newcommand{\ntf}{\mbox{ntf}}
\newcommand{\df}{\mbox{df}}
\newcommand{\idf}{\mbox{idf}}
\newcommand{\ulda}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\Dist}{\mathcal{D}}
\renewcommand{\d}{d}
\newcommand{\Trf}{\bar{H}}
\newcommand{\y}{y}
\newcommand{\by}{\boldsymbol{y}}


\newcommand{\eqdef}{\overset{{\rm def}}{=}} %= en définition
\newcommand{\acro}[1]{\texttt{#1}}

\newcommand{\dotp}[1]{\:\left<#1\right>\:} %produit scalaire
\newcommand{\norm}[1]{\left | \!\left | #1 \right | \! \right |}
\newcommand{\predicat}[1]{[[#1]]}
\newcommand{\InstLossCnx}{\mathcal E}
\def\PP{\mbox{$\mathbb{P}$}}
\newcommand{\noi}{\noindent}
\newcommand{\itb}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\II}{\mbox{\large 1\hskip -0,353em 1}}
\newcommand{\var}{\mbox{var}}
\newcommand{\dps}{\displaystyle}


\newcommand{\MA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\MD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\ME}{\mathcal{E}}
\newcommand{\MG}{\mathcal{G}}
\renewcommand{\MN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\MR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\MS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\MU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\MV}{\mathcal{V}}

%%%%%% Lettres doublees, proba, esperance, indicatrice %%%%%


\def\II{\mbox{\large 1\hskip -0.353em 1}}
\def\EE{\mbox{$\mathbb{E}$}}
\def\VV{\mbox{\it Var }}
\def\Var{\mbox{\it Var }}
\def\var{\mbox{\it Var }}
\def\PP{\mbox{$\mathbb{P}$}}


%%%%% Lettres caligraphiees %%%%%%%%
\def\F{{\mathcal{F}}}
\def\G{{\mathcal{G}}}
\def\H{{\mathcal{H}}}
\def\C{{ \mathcal{C}}}
\def\D{{ \mathcal{D}}}
\def\L{{\mathcal{L}}}
\def\V{{\mathcal{V}}}
\def\Z{{\mathcal{Z}}}
\def\M{{\mathcal{M}}}
\def\N{{\mathcal{N}}}
\def\A{{\mathcal{A}}}
\def\B{{\mathcal{B}}}
\def\P{{\mathcal{P}}}
\def\S{{\mathcal{S}}}
\def\I{{\mathcal{I}}}
\def\U{{\mathcal{U}}}
\def\P{{\mathcal{P}}}


\def\MI{{ \mathcal{I}}}

%%%%% Expressions mathematiques en gras %%%%%%%%
\def \bsx{{\boldsymbol{x}}}
\def \BSX{{\boldsymbol{X}}}
\def \bsy{{\boldsymbol{y}}}
\def \BSY{{\boldsymbol{Y}}}
\def \bsz{{\boldsymbol{z}}}
\def \BSZ{{\boldsymbol{Z}}}

%%%%%% matrice transposee, et divers %%%%


\def\Pt{\,^t\!P}
\def\At{\,^t\!\!A}
\newcommand{\transp}[1]{\,^t #1}
\def\cc{\kern-.25em{\c c}}
\def\bb{\hfill \rule{2.5mm}{2.5mm} \\ }


%%%%%% Aliases, macros et abbréviations
% au cas ou on change les notations... mais il faudrait refaire des figures

% À discuter : transposée de X = X^T à l'anglaise ou {}^t X à la française ?

\newcommand{\Id}{\mathbf{I}} % Matrice identité - $\Id_n$ pour une matrice nxn
\def\Un{\mathrm{1\kern-3pt I}} % Matrice de 1

\newcommand{\VAR}{X} % Variable aléatoire réelle (observation, prédicteur,...)
\newcommand{\RVAR}{x} % Réalisation de \VAR
\newcommand{\VARC}{Z} % Variable aléatoire catégorielle ou latente (classe, état caché,...)
\newcommand{\RVARC}{z} % Réalisation de \VARC
\newcommand{\NVARC}{K} % Nombre de modalités de \VARC (cas catégoriel)
\newcommand{\DVARC}{M} % Dimension de \VARC (cas multivarié)
\newcommand{\MVAR}{\BSX} % Vecteur aléatoire (observation, prédicteur,...)
\newcommand{\MATVAR}{\mathbf{X}} % Matrice des \MVAR
\newcommand{\RMVAR}{\bsx} % Réalisation de \MVAR
\newcommand{\MVARC}{\BSZ} % Vecteur aléatoire catégoriel ou latent
\newcommand{\MATVARC}{\mathbf{Z}} % Matrice des \MVARC
\newcommand{\RMVARC}{\bsz} % Réalisation de \MVARC
\newcommand{\DMVAR}{D} % Dimension de \MVAR
\newcommand{\AFFL}{{\mathbf{W}}} % Partie linéaire d'une transformation affine en ACP probabiliste
\newcommand{\AFFT}{\mu} % Partie translation d'une transformation affine en ACP probabiliste
\newcommand{\w}{\boldsymbol{w}}% poids du modèle
\newcommand{\ts}[3]{#1_{#2}^{#3}}  % sequence x_1^n, exemple $\ts{\RVAR}{1}{n}$ pour $(x_1,\dlots,x_n)$
\newcommand{\biais}{w_0}% poids du modèle

\newcommand{\BA}{\varepsilon} % Bruit aléatoire

\newcommand{\ESP}{\mathbb{E}} % Espérance mathématique

\newcommand{\me}[2]{{\bar #1}_{#2}}  % moyenne empirique d'un echantillon $(x_1,\dlots,x_n)$ : $\me{x}{n}$
\newcommand{\ve}[1]{{s}_{#1}^2}  % variance empirique d'un echantillon $(x_1,\dlots,x_n)$ : $\ve{n}$ 
% La dependence en x n'est pas explicite
	
% Parametre (quelconque)
\newcommand{\param}{\theta}
% Parametre quand on veut insister sur sa nature vectorielle
\newcommand{\vparam}{\boldsymbol{\theta}}
% Espace des parametres
\newcommand{\esparam}{\boldsymbol{\Theta}}

\newcommand{\Graphe}{\MG}
\newcommand{\Sommets}{\MS}
\newcommand{\Arcs}{\MA}





\addcontentsline{toc}{chapter}{Notations}
\markboth{Notations}{}
\begin{longtable}{l l p{81mm}}
$\mathcal C=\{d_1,...,d_N\}$           & & Collection contenant $N$ documents\\
$\mathcal V=\{t_1,...,t_V\}$           & & Vocabulaire constitué de $V$ termes\\
$M$                                    & & Nombre total de mots dans $\mathcal C$\\
$M_y$                                    & & Nombre total de types de mots dans $\mathcal C$\\
$M_{Nor}$                                    & & Nombre de types de mots après racinisation\\
$\mathbf{X}_{V\times N}$													& & Matrice termes-documents\\
$\transp{\mathbf{X}}$													& & Transposée de la matrice $\mathbf{X}$ \\
$\mbox{tf}_{t,d}$                             & & Nombre d'occurrences du terme $t$ dans $d\in \mathcal C$\\
$\mbox{ntf}_{t,d}$                            & & Nombre d'occurrences normalisé du terme $t$ dans le document~$d$\\
$\mbox{tf}_{t,\mathcal C}$                    & & Nombre d'occurrences du terme $t$ dans la collection $\mathcal C$\\
$\mbox{tf}_{t,q}$                             & & Nombre d'occurrences du terme $t$ dans la requête $q$\\
$|d|$                                  & & Nombre de termes différents dans $d$\\
$l_d$                                  & & Nombre total d'occurrences des termes du vocabulaire dans $d$; $l_d =\displaystyle{\sum_{t\in \mathcal V} \mbox{tf}_{t,d}}$\\
$l_{\mathcal C}$                         & & Nombre total d'occurrences des termes du vocabulaire dans~$\mathcal C$; $l_{\mathcal C}=\displaystyle{\sum_{d\in \mathcal C}\sum_{t\in \mathcal V} \mbox{tf}_{t,d}}$\\
$\mbox{df}_t$                                 & & Nombre de documents de la collection contenant le terme $t$ ($\mbox{idf}_t=\log \frac{N}{\mbox{df}_t}$)\\
$\mathbf{d}=(w_{id})_{i\in\{1,...,V\}}$  & & Représentation vectorielle du document $d$ \\
$w_{id}$                               & & Poids du terme d'indice $i$ du vocabulaire dans $d$\\
$s(q,d)$                               & & Score de similarité entre une requête $q$ et un document $d$ (ce score est parfois noté $\mbox{RSV}(q,d)$, où RSV représente la {\itshape Retrieval Status Value})\\
$\Id$														&  & Matrice identité \\
$\Un_n$                               & & Vecteur $(1)_{1 \leq i \leq n}$ \\
$R_{d,q}$                              & & Jugement de pertinence binaire assigné au document $d$ pour la requête $q$\\
$\mathcal A_q$                         & & Ensemble des documents (ou \textit{alternatifs}) de $\mathcal C$ concernés par la requête $q$\\
$P(.)$																 &  & Une distribution de probabilité \\
$P(t\mid d)$                           & & Probabilité de présence du terme $t$ dans $d\in \mathcal C$\\
$P(t\mid \mathcal C)$                  & & Probabilité de présence du terme $t$ dans la collection\\
$\mathcal{Y} = \{1, \cdots, K\}$       & & Ensemble de $K$ étiquettes de classes, apprises ou données\\
$\mathcal{Z} = \{z_1, \cdots, z_K\}$   & & Ensemble de $K$ thèmes latents\\
$\mbox{df}_t(k)$                       & & Nombre de documents de la classe d'étiquette $k$ contenant le terme $t$ \\
$S=\left((\textbf{d}_j, c_j)\right)_{i=1}^m$ & & Ensemble d'apprentissage contenant $m$ documents avec leur étiquette de classe \\
$S_k$                               & & Ensemble des documents de l'ensemble $S$ appartenant à la classe d'étiquette $k$ \\
$N_k(S)$                            & & Nombre de documents de l'ensemble $S$ appartenant à la classe d'étiquette $k$ \\
$\mathcal{D}$                            & & Distribution de probabilité suivant laquelle les exemples d'apprentissage sont identiquement et indépendamment  générés\\
$\mathcal{F}$                           & & Une classe de fonctions $\mathcal{F}=\{f: \mathbb{R}^V \rightarrow \mathcal{Y}\}$\\
$\dotp{.,.}$                            & & Produit scalaire\\
$\hat R_m(f,S)$													& & L'erreur empirique de la fonction de prédiction $f$ sur l'ensemble d'apprentissage $S$ de taille $m$ \\
$R(f)$																& & L'erreur de généralisation de la fonction de prédiction $f$ \\
$\{G_1,\ldots, G_k\}$											& & Ensemble de $K$ classes obtenues sur une collection de documents $\mathcal C$ \\
$\{\text{r}_1,\ldots, \text{r}_K\}$       & & $K$ vecteurs représentant les centres de gravité des classes; $\forall k, \text{r}_k=\frac{1}{|G_k|}\sum_{\mathbf{d}\in G_k} \mathbf{d}$ \\
IMP 																		&  & Information mutuelle ponctuelle \\
$\text{IM}(t,c)$  																		  &  & Information mutuelle du terme $t$ dans la classe $c$\\
$\Predi{\pi}$												&  & Fonction indicatrice, égale à $1$ si le prédicat $\pi$ est vrai et $0$ sinon \\
$\VAR$												&  & Variable aléatoire : cas d'estimation de densité ou de variable réponse en régression \\
$\VARC$												&  & Variable aléatoire : cas de classe ou composante principale \\
$\MVAR$												&  & Vecteur aléatoire \\
$\ts{\RVAR}{1}{n}$ 									&  & Séquence $(\RVAR_1,\ldots,\RVAR_n)$ \\
$\me{\RVAR}{n}$ 									&  & Moyenne empirique des $(\RVAR_1,\ldots,\RVAR_n)$ \\
$\ve{n}$		 									&  & Variance empirique des $(\RVAR_1,\ldots,\RVAR_n)$ \\
$\VAR \sim p(\RVAR)$									&  & Indique que $\VAR$ suit la loi $p$ \\
$\ESP(\VAR)$											&  & Espérance mathématique de la variable aléatoire $\VAR$\\
$\param$											&  & Paramètre d'une loi de probabilité (quelconque : scalaire, vecteur, ...)\\
$\vparam$											&  & Paramètre d'une loi de probabilité (cas vectoriel) \\
$\esparam$											&  & Espace du paramètre $\param$ ou $\vparam$  \\
$\DMVAR$												&  & Dimension de $\MVAR$ dans le cas vectoriel (modèles graphiques, ACP, ...) \\
$\Graphe=(\Sommets, \Arcs)$ 						&  & Graphe $\Graphe$ de sommets $\Sommets$ et d'arêtes ou arcs $\Arcs$ \\ 
$\NVARC$												&  & Nombre de valeurs (de classes) pour $\VARC$ \\
$\DVARC$												&  & Dimension de $\MVARC$ en ACP probabiliste \\
$\BA$												&  & Bruit (variable aléatoire)
\end{longtable}